네,가능합니다 ㅣ 2025. 2. 19. 19:46
1. 수의 구조
1.1 수의 시각화
- 왜 수에 대해 알아야 하는가?
- 게임 세계는 벡터(Vector)로 구성된 시스템으로 만들어지며, 이 벡터는 `수`를 기반으로 함.
- 수를 이해하면 벡터를 더 정확하게 다룰 수 있음
- 수(Numbers)의 종류
- 수는 문명을 발전시키면서 다양한 개념으로 확대되었음.
- 각각의 수는 집합(Set) 이라는 개념으로 분류됨. (예: 자연수, 정수, 유리수, 실수 등)
- 실수 집합(The set of numbers, R)
- 수 직선(Number line) 으로 표현 가능하며, 수 사이에 빈틈 없이 연속적인 집합임.
1.2 이항 연산 (Binary Operation)
- 집합(Set)
- 원소(Element)들의 묶음
- 수 집합은 일반적인 집합과 다르게 연산(사칙 연산 등) 이 존재함.
- 사칙 연산의 재구성
- 뺄셈은 덧셈의 역원(Opposite Number)을 더하는 것으로 표현할 수 있음.
- 나눗셈은 곱셈의 역원(Reciprocal)을 곱하는 것으로 표현할 수 있음.
- 연산의 시각화
- 덧셈: 점을 평행 이동시키는 연산
- 곱셈: 원점을 중심으로 점의 크기와 방향을 조절하는 연산
1.3 이항 연산의 성질
- 교환 법칙(Commutativity): 순서를 바꿔도 결과가 같음.
- 결헙 법칙(Associativity): 괄호의 위치를 바꿔도 결과가 같음.
- 예: (a + b) + c = a + (b + c)
- 분배 법칙(Distributivity): 곱셈이 덧셈에 대해 분배됨.
- 예: a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
- 항등원(Identity)
- 역원 (Inverse)
- 덧셈의 역원: 반수(Opposite Number)
- 곱셈의 역원: 역수(Reciprocal)
1.4 체(Field)의 공리(Axiom)
- 공리: 증명이 필요 없는 기본 명제
- 군(Group)의 공리
- 덧셈 연산에 대해 닫혀있음
- 결합법칙을 만족함
- 항등원이 존재함
- 역원이 존재함
- 아벨 군(Abelian Group)
- 환 (Ring)의 공리
- 덧셈과 곱셈 연산에 대해 닫혀있음
- 결합법칙을 만족함
- 분배 법칙을 만족함
- 체(Field)의 공리
- 0을 제외한 모든 원소에 대해 곱셈의 역원이 존재함
- 덧셈과 곱셈에 대해 교환, 결합, 분배 법칙을 모두 만족하고 항등원과 역원이 존재하는 수의 구조
- 체 집합은 F로 표현하며, 원소를 스칼라 라고 부름
- 예시: 유리수(Q), 실수(R), 복소수(C)
2. 함수 (Function)
2.1 함수의 기초
- 왜 함수를 배워야 하는가?
- 게임의 공간 구성 및 변환 과정은 집합과 집합의 대응 관계로 구성됨.
- 이 대응 관계를 설명하는 이론이 바로 함수임.
- 함수의 정의
- 함수: 한 집합의 원소가 다른 집합의 원소와 1:1로 대응하는 관계
- 성립 조건:
- 첫 번째 집합의 모든 원소가 사용되어야 함.
- 첫 번째 집합의 한 원소는 두 번째 집합의 하나의 원소에만 대응해야 함.
2.2 함수에 관련된 주요 용어
- 정의역 (Domain): 함수가 적용될 수 있는 원소들의 집합 (입력값의 집합)
- 공역 (Codomain): 함수가 도달할 수 있는 값들의 집합 (출력값이 가능한 집합)
- 치역 (Range): 함수에 의해 실제로 나오는 출력값들의 집합
2.3 함수의 종류
- 전사 (Surjection): 공역의 모든 원소가 치역에 포함됨
- 단사 (Injection): 정의역의 원소마다 공역의 원소가 1:1 대응
- 전단사 (Bijection): 전사와 단사를 모두 만족하는 함수
2.4 곱집합
- 곱집합의 정의
- 두 집합의 원소를 순서쌍(Tuple) 으로 묶어 구성한 집합
2.5 합성함수(Composition)
- 합성함수
- 항등함수
- 함수를 적용해도 원래 값이 그대로 나오는 함수
- 역함수
- 함수를 거꾸로 적용했을 때 원래 값이 나오는 함수
- 전단사 함수일 때만 역함수가 존재
3. 요약
- 수와 연산은 게임 개발에서 벡터를 다루는 기초 개념임.
- 이항 연산과 그 성질을 이해하면 수학적 구조를 분석하고 최적화할 수 있음.
- 체의 개념은 사칙연산이 자유롭게 가능한 수의 집합을 이해하는 데 중요함.
- 함수는 공간과 공간의 변환을 설명하며, 게임 갭발에서 물체의 이동, 회전 등을 수학적으로 설명할 때 사용됨.
- 합성함수는 복잡한 연산을 단계적으로 나누어 이해하기 쉽게 만들어줌.
